Найдите наибольшее значение функции: y=|x-2|+2x-3x^2

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

Найдите наибольшее значение функции:
y=|x-2|+2x-3x²

Решение
По определению модуля
$|x-2|= \left \{ {{x-2 ,\;eclu\;x-2 \geq 0} \atop {2-x, \;eclu \; x-2 \ \textless \ 0}} \right.$
Поэтому можно записать
$y= \left \{ {{3x-2-3x^2 ,\;eclu\;x\geq 2} \atop {2+x-3x^2, \;eclu \; x \ \textless \ 2}} \right.$
Определим производный кусочно заданной функции
При х ≥ 2
y' = (3x - 2 - 3x²)' = 3 - 6x
При х ≥ 2 производная на интервале [2;+∞) будет отрицательной y'<0.<br>Следовательно функция
                                 y=|x-2|+2x-3x²
на интервале [2;+∞) убывает.
Найдем производную на интервале (-∞;2)
y' = (2 + x - 3x²)' = 1 - 6x
Найдем критическую точку приравняв производную к нулю.
           y' = 0 ⇔ 1 - 6x = 0
                           x =`1/6
На числовой прямой отобразим эту точку и определим знаки производной
                  +     0         -
---------------------!----------------!
                         1/6               2
На интервале (-∞;1/6] производная больше нуля и функция возрастает.
На интервале [1/6;2] производная меньше нуля и функция убывает.
В точке х=1/6 функция имеет максимум.
$y( \frac{1}{6} )=2+ \frac{1}{6} -3*( \frac{1}{6} )^2=2+ \frac{1}{6} - \frac{1}{12}= \frac{24+2-1}{12}= \frac{25}{12}=2 \frac{1}{12}$

Ответ: ymax = y(1/6) = 25/12

Minsk00_zn (11.0k баллов) 30 Май, 18