Скажите, пожалуйста, почему (а-b)^х тоже самое, что 1/(а+b)^x ?

Это не одно и то же, вот и все.

Решим ваше уравнение
$(a-b)^x = \frac{1}{(a+b)^x} \\ \\ (a-b)^x(a+b)^x = 1\\ \\ ((a-b)(a+b))^x = 1 \\ \\ (a-b)(a+b) = 1 \\ a = b \ \ \ or \ \ \ a = -b$

Как видно, равенство выполняется, если а = б или а = -б. Во всех других случаях это не правильно.