Грамматически правильным предложением является предложение № 3, так как деепричастный оборот должен (как и сказуемое) соотноситься с одним субъектом действия.
Начиная заниматься закаливанием, я познакомился со специальной литературой по этой проблеме. (я начал закаляться и начал читать литературу по теме).
А вообще еще лучше, если бы была временная соотнесенность сказуемого и деепричастия - начав заниматься, я познакомился.
Но чисто формально верный только один ответ - 3.