Являются ли приведенные ниже слова этимологически родственными? обоснуйте свой...

Да, эти слова являются этимологически родственными, так как, слово копейка произошло от слова копьё. Связано это с тем, что на первых монетах был изображен всадник с копьем (в старину, такие монеты так и назывались – "копейные деньги").