Так как 2018=1009*2, а 1009 и 2 - простые числа, то 2018 можно разложить на 3 целых множителя только следующими способами:
1*1*2018
(-1)*(-1)*2018
(-1)*1*(-2018)
1*2*1009
(-1)*(-2)*1009
(-1)*2*(-1009)
1*(-2)*(-1009)
А числа x-1, x, x+1 - три последовательных целых числа.
Такой комбинации среди разложения на множители нет, значит, в целых числах решения нет.
Другой способ:
функция y=x^3-x возрастает при 3x^2-1>0, то есть, при всех x из интервалов (-∞;-1/√3)∪(1/√3;+∞).
При x=12 y(x)=12^3-12=1716<2018, при x=13 y(x)=13^3-13<br>=2184>2018.
Значит, единственное значение y=2018 она принимает на интервале (12;13). То есть, целых корней у уравнения нет.