Задание во вложении.

1) y = arctg x; x = 0
y(0) = arctg 0 = 0
y ' (x) = 1/(1 + x^2); y ' (0) = 1/(1 + 0) = 1
Касательная
f(x) = y(0) + y ' (0)*(x - x0) = 0 + 1(x - 0) = x
f(x) = x

2) $y= \sqrt[3]{x-1} ; x=1$
$y(1)= \sqrt[3]{1-1}=0$
$y'(x)= \frac{1}{3 \sqrt[3]{(x-1)^2} } ; y'(1)= \frac{1}{3 \sqrt[3]{(1-1)^2} }$ - не определено.
Касательная в точке x = 1 не существует.

3) $y=ln \frac{x^2-2x+1}{x^2+x+1} ;x=0$
$y(0)=ln \frac{0-2*0+1}{0+0+1} =ln(1)=0$
$y'(x)= \frac{x^2+x+1}{x^2-2x+1}\frac{(2x-2)(x^2+x+1)-(x^2-2x+1)(2x+1)}{(x^2+x+1)^2} = \\ = \frac{(2x-2)(x^2+x+1)-(x^2-2x+1)(2x+1)}{(x^2-2x+1)(x^2+x+1)}= \frac{2x^3-2-2x^3+3x^2-1}{(x^2-2x+1)(x^2+x+1)}= \\ = \frac{3x^2-3}{(x^2-2x+1)(x^2+x+1)}$
$y'(0)= \frac{3*0-3}{(0-2*0+1)(0+0+1)}= \frac{-3}{1} =-3$