Заморить червячка - Слегка закусить.
Есть две версии возникновения фразеологизма:
1) оборот собственно русский. Скорее всего, связан с представлением о гельминтах (паразитах в кишечнике)
2) выражение заимствовано из романской фразеологии. По-видимому, это калька с французского "выпить натощак рюмку спиртного" (букв. "убить червя"). Оборот связан с народным поверьем, что, выпив натощак спиртного, можно избавиться от глистов.