Вычислить определенные интегралы

Question 1

Вычислить определенные интегралы

$1) \int\limits^7_0 { \frac{dx}{ \sqrt[3]{(x-8) ^{2} } } } \, \\ 2) \int\limits^5_9 { \frac{2xdx}{ \sqrt{144+ x^{2} } } } \, \\ 3) \int\limits^ \frac{ \pi }{4} _ \frac{ \pi }{2} { \frac{cosxdx}{ sin^{3}x } } \, \\ 4)\int\limits^ \frac{2}{5} _0 { \frac{5xdx}{4+25^2}} \,$

Question 2

Загоняем под дифференциал функции, чтобы привести интеграл к табличному виду. Потом по формуле Ньютона-Лейбница вычисляем определённый интеграл, подставляя пределы и находя разность.

1)
$\int\limits^7_0 { \frac{1}{ \sqrt[3]{(x-8)^2} } } \, dx = \int\limits^0_7 { (x-8)^{- \frac{2}{3} } } \, d(x-8) = \frac{1}{- \frac{2}{3}+1 } (x-8)^{- \frac{2}{3}+1}|_0^7 = \\ \\ =3 (x-8)^{ \frac{1}{3} }|_0^7 =3 \sqrt[3]{x-8} |_0^7 = 3( \sqrt[3]{7-8} - \sqrt[3]{0-8} ) = \\ \\ = 3(\sqrt[3]{-1} - \sqrt[3]{-8} ) = 3(-1 - (-2) ) =3(-1+2) = 3$

2)
$\int\limits^5_9 { \frac{2x}{ \sqrt{144+x^2} } } \, dx = \int\limits^5_9 { \frac{1}{ (144+x^2)^{ \frac{1}{2} } } } \, d(x^2) = \\ \\ = \int\limits^5_9 {(144+x^2)^{ -\frac{1}{2} } \, d(144+x^2) =$

$= \frac{1}{ -\frac{1}{2}+1} (144+x^2)^{ -\frac{1}{2} +1}|_9^5 = 2 \sqrt{144+x^2} |_9^5 = \\ \\ = 2( \sqrt{144+5^2} - \sqrt{144+9^2} )=2 (13 - 15) = -4$

3)
$\int\limits^{ \pi /4}_{ \pi /2} { \frac{cosx}{sin^3 x} } \, dx = \int\limits^{ \pi /4}_{ \pi /2} { \frac{1}{sin^3 x} } \, d(sinx) = \\ \\ =\int\limits^{ \pi /4}_{ \pi /2} { sin^{-3} x \, d(sinx) = \frac{1}{-3+1} sin^{-3+1} x |_{\pi /2}^{\pi /4} = \\ \\$
$= \frac{1}{-2} sin^{-2} x |_{\pi /2}^{\pi /4} = -\frac{1}{2sin^{2} x} |_{\pi /2}^{\pi /4} = \\ \\ = -\frac{1}{2} ( \frac{1}{sin^{2} \frac{ \pi }{4} } - \frac{1}{sin^{2} \frac{ \pi }{2} } ) = -\frac{1}{2} ( \frac{1}{ (\frac{ \sqrt{2} }{2})^2 } - \frac{1}{1^2} ) = \\ \\ = -\frac{1}{2} ( \frac{1}{ \frac{ {2} }{4} } - 1) = -\frac{1}{2} (2- 1) = -\frac{1}{2}$

4)
$\int\limits^{ \frac{1}{2.5} }_0 {x} \, dx = \frac{x^2}{2} |_0^{ \frac{2}{5} } = \frac{1}{2} ( ( \frac{2}{5} )^2 -0^2 ) = \frac{1}{2} * \frac{4}{25} = \frac{2}{25} = 0.08$