36^sinx+36^cos(x+п/2)=37/3

Question 1

Question 2

$36^{sinx} + 36^{cos( \frac{ \pi }{2}+x )}= \frac{37}{3} \\ \\ 36^{sinx} + 36^{-sinx}= \frac{37}{3} \\ \\ 36^{sinx} + \frac{1}{36^{sinx}} - \frac{37}{3} =0 \\ \\ \frac{(36^{sinx})^2 + 1 - \frac{37}{3}*36^{sinx}}{36^{sinx}} =0 \\ \\ (36^{sinx})^2 - \frac{37}{3}*36^{sinx}+1 =0 \\ \\3(36^{sinx})^2 - 37*36^{sinx}+3 =0 \\ \\ y=36^{sinx}$

3y² -37y + 3 = 0
D = 37² - 4*3*3 = 1333

$y_1 = \frac{37 - \sqrt{1333} }{6} \\ \\ y_2= \frac{37+ \sqrt{1333} }{6}$

1)
$y_1 = \frac{37 - \sqrt{1333} }{6} = 36^{sinx} \\ \\ sinx = log_{36}( \frac{37 - \sqrt{1333} }{6})=log_{36}(37- \sqrt{1333} ) - 0,5$

$sinx = log_{36}(37- \sqrt{1333} ) - 0,5$ ≈ -0,2 - 0,5 ≈ -0,7 - допустимое значение sinx

$x_1 = arcsin(log_{36}(37- \sqrt{1333} ) - 0,5) + 2 \pi n \\ \\ x_2= \pi -arcsin(log_{36}(37- \sqrt{1333} ) - 0,5) + 2 \pi m$
n, m ∈ Z

2)
$y_2= \frac{37+ \sqrt{1333} }{6} =36^{sinx} \\ \\ sinx=log_{36}(\frac{37+ \sqrt{1333} }{6} )=log_{36}(37+ \sqrt{1333}) - 0,5$
$sinx=log_{36}(37+ \sqrt{1333}) - 0,5$ ≈ 1,2 - 0,5 ≈ 0,7 - допустимое значение sinx

$x_3 = arcsin(log_{36}(37+ \sqrt{1333} ) - 0,5) + 2 \pi k \\ \\ x_4= \pi -arcsin(log_{36}(37+ \sqrt{1333} ) - 0,5) + 2 \pi z$
k, z ∈ Z

Question 3

Cos(x+Π/2) = -sin x.
36^(sin x) + 36^(-sin x) = 3 7/3
Замена 36^(sin x) = y
y + 1/y = 3 7/3 = 16/3
Умножаем всё на 3y
3y^2 - 16y + 3 = 0
D/4 = 8^2 - 3*3 = 64 - 9 = 55
Корни получаются иррациональные.
y1 = 36^(sin x) = (8-√55)/3 ~ 0,19
sin x ~ log36 (0,19) ~ -0,46 > -1
x1 = (-1)^k*arcsin [log36 ((8-√55)/3)] + Π*k
y2 = 36^(sin x) = (8+√55)/3 ~ 5,14
sin x ~ log36 (5,14) ~ 0,46 < 1
x2 =(-1)^k*arcsin [log36 ((8+√55)/3)] + Π*k
Здесь везде log36 - это логарифм по основанию 36.

Question 4

А я почему-то решила, что справа дробь (37)/3, но там тоже корни иррациональные получаются

Question 5

Я решал по телефону, там вроде бы пробел был между 3 и 7.Вот я и подумал, что это 3 7/3, а не 37/3

Question 6

А я после вашего решения специально проверила на пробел, вроде бы нет, хотя автору вопроса виднее