Решите уравнение

Перепишем уравнение в виде:

$\sqrt{2\bigg(x^2-2x\bigg)+3} + \sqrt{3\bigg(x^2-2x\bigg)+7} =2-\bigg(x^2-2x\bigg)$

Произведем замену переменных. Пусть $x^2-2x=t$ в результате замены получим уравнение относительно t

$\sqrt{2t+3} + \sqrt{3t+7} =2-t$

или $\sqrt{2t+3} + \sqrt{3t+7}+t=2$ $(\star)$

Рассмотрим функцию $f(t)=\sqrt{2t+3} + \sqrt{3t+7}+t$ . Функция является возрастающей, как сумма трех возрастающих функций. И рассмотрим прямую $y=2$ , которая параллельная оси абсцисс.

Пользуемся теоремой, которая говорит следующее:

Если на некотором промежутке функция f(x) возрастает (или убывает), то уравнение f(x)=a на этом промежутке имеет единственный корень либо не имеет корней (a — постоянная величина (число)).

Путем подбора можно достоверно убедиться, что корень t=-1 является решением уравнения $(\star).$

Выполнив обратную замену $x^2-2x=-1$ находим $(x-1)^2=0,~~~ x=1.$

ОТВЕТ: х=1.