Нужно сократить дробь

Question

Дан 1 ответ

SweetBlackberry_zn · Answer 1 · 2018-05-29T01:04:58+0000

Для начала скажем, что a, b ≥ 0 (запись $a^{ \frac{1}{3} }$ и аналогичная для b означает, что степень, т.е. числа a и b, не могут быть отрицательными по определению степенной функции), поэтому можем заменять $\sqrt[3]{a}$ на $a^{ \frac{1}{3} }$ (иначе нельзя было бы, т.к. для $\sqrt[3]{a}$ отрицательные a допустимы, но $x^{ \frac{1}{3} }$ уже дало ограничение на переменные, почему данный переход будет равносильным). Т.к. и а, и б неотрицательны, ограничения на знаменатель первой дроби нет.
1. Начнем с упрощения $\frac{a + b}{ a^{ \frac{1}{3} } + b^{ \frac{1}{3} } }$
Заметим один из элементов формулы сокращенного умножения внизу и домножим на сопряженное.
$\frac{(a + b) * ( a^{ \frac{2}{3} } - a^{ \frac{1}{3}} * b^{ \frac{1}{3}} + b^{ \frac{2}{3}})}{(a + b)}$
Сократим дробь на (a + b). Останется
$( a^{ \frac{2}{3} } - a^{ \frac{1}{3}} * b^{ \frac{1}{3}} + b^{ \frac{2}{3}})$
2. Закончим с упрощением числителя:
$a^{ \frac{2}{3} } - a^{ \frac{1}{3}} * b^{ \frac{1}{3}} + b^{ \frac{2}{3}} - a^{ \frac{1}{3}} * b^{ \frac{1}{3}} = a^{ \frac{2}{3} } - 2a^{ \frac{1}{3}} * b^{ \frac{1}{3}} + b^{ \frac{2}{3}}$
Заметим здесь полный квадрат. Это выражение равносильно
$(a^{ \frac{1}{3} } - b^{ \frac{1}{3} } )^2$
3. a не должно быть равно b, чтобы знаменатель не был равен нулю. Продолжим упрощение:
$\frac{(a^{ \frac{1}{3} } - b^{ \frac{1}{3} } )^2}{(b^{ \frac{1}{3} } - a^{ \frac{1}{3} } )}$
В знаменателе вынесем минус за скобку и разделим числитель на знаменатель:
$\frac{(a^{ \frac{1}{3} } - b^{ \frac{1}{3} } )^2}{-(a^{ \frac{1}{3} } - b^{ \frac{1}{3} } )} = {(b^{ \frac{1}{3} } - a^{ \frac{1}{3} } )}$
Ответ: $b^{ \frac{1}{3} } - a^{ \frac{1}{3} }$ при a, b ≥ 0, a ≠ b.