Помогите пожалуйста с дифференциальным уравнением (полное решение) 1) y^2+y'=1 и еще 2)...

Question 1

Помогите пожалуйста с дифференциальным уравнением (полное решение)
1) y^2+y'=1
и еще
2) y'+ числитель x^2+y^2 / знаменатель xy =0

Question 2

1) Дифференциальное уравнение первого порядка разрешенной относительно производной, ДУ с разделяющимися переменными.

$y'=1-y^2\\ \\ \displaystyle \int \frac{dy}{1-y^2}=\int dx \\ \\ \frac{1}{2} \ln\bigg| \frac{1+y}{1-y} \bigg|=x+C$

Получили общий интеграл.

2) $y'+ \dfrac{x^2+y^2}{xy}=0$

Это однородное дифференциальное уравнение..

Введём замену $y=ux$ , тогда по правилу дифференцирования произведения двух функций: $y'=u'x+u$

$u'x+u+ \dfrac{x^2+u^2x^2}{ux^2} =0\\ \\ u'x+ \dfrac{2u^2+1}{u}=0$

имеем теперь дело с ДУ с разделяющимися переменными.

$\displaystyle \int \frac{udu}{2u^2+1} =\int- \frac{dx}{x} \\ \\ \frac{1}{4} \ln(2y^2+1)=\ln\bigg| \frac{C}{x} \bigg|\\ \\ x\sqrt[4]{2y^2+1} =C$

LecToRJkeeeee_zn · Answer 1 · 2018-05-29T01:04:11+0000

1) Дифференциальное уравнение первого порядка разрешенной относительно производной, ДУ с разделяющимися переменными.

$y'=1-y^2\\ \\ \displaystyle \int \frac{dy}{1-y^2}=\int dx \\ \\ \frac{1}{2} \ln\bigg| \frac{1+y}{1-y} \bigg|=x+C$

Получили общий интеграл.

2) $y'+ \dfrac{x^2+y^2}{xy}=0$

Это однородное дифференциальное уравнение..

Введём замену $y=ux$ , тогда по правилу дифференцирования произведения двух функций: $y'=u'x+u$

$u'x+u+ \dfrac{x^2+u^2x^2}{ux^2} =0\\ \\ u'x+ \dfrac{2u^2+1}{u}=0$

имеем теперь дело с ДУ с разделяющимися переменными.

$\displaystyle \int \frac{udu}{2u^2+1} =\int- \frac{dx}{x} \\ \\ \frac{1}{4} \ln(2y^2+1)=\ln\bigg| \frac{C}{x} \bigg|\\ \\ x\sqrt[4]{2y^2+1} =C$