Решите в целых числах уравнение: х^2+ху-2у^2-х+у=3

Запишем уравнение в виде

(x+2y-1)(x-y)=3.

Имеем 4 возможности разложить 3 в произведение целых чисел:

$3=3\cdot 1=1\cdot 3=(-3)\cdot (-1)=(-1)\cdot (-3)$

1) $\left \{ {{x+2y-1=3} \atop {x-y=1}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{x=y+1} \atop {3y=3}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{y=1} \atop {x=2}} \right.$

2) $\left \{ {{x+2y-1=1} \atop {x-y=3}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{x=y+3} \atop {3y=-1}} \right. ;$ тут целых решений нет.

3) $\left \{ {{x+2y-1=-3} \atop {x-y=-1}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{x=y-1} \atop {3y=-1}} \right. ;$ тут целых решений нет

4) $\left \{ {{x+2y-1=-1} \atop {x-y=-3}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{x=y-3} \atop {3y=3}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{y=1} \atop {x=-2}} \right.$

Ответ: (2;1) и (-2;1)