Помогите решить уравнение

Question

Дан 1 ответ

mefody66_zn · Answer 1 · 2018-05-28T23:58:57+0000

$log_{9x}(27x)+log_{3x^2}(9x^2) \geq \frac{7}{2}$
$log_{9x}(9x*3)+log_{3x^2}(3x^2*3) \geq \frac{7}{2}$
Разложим логарифмы произведений на сумму логарифмов
$log_{9x}(9x)+log_{9x}(3)+log_{3x^2}(3x^2)+log_{3x^2}(3) \geq \frac{7}{2}$
Решаем известные логарифмы
$1+log_{9x}(3)+1+log_{3x^2}(3) \geq 3,5$
Вычитаем 2 слева и справа
$log_{9x}(3)+log_{3x^2}(3) \geq 1,5$
Применяем формулу: $log_a(b)= \frac{1}{log_b(a)}$
$\frac{1}{log_3(9x)} + \frac{1}{log_3(3x^2)} \geq 1,5$
Опять разложим логарифмы на сумму
$\frac{1}{log_3(9)+log_3(x)} + \frac{1}{log_3(3)+log_3(x^2)} \geq 1,5$
Опять решаем известные логарифмы
$\frac{1}{2+log_3(x)} + \frac{1}{1+2log_3(x)} \geq 1,5$
Замена $y=log_3(x)$ .
$\frac{1}{2+y}+ \frac{1}{1+2y}- \frac{3}{2} \geq 0$
Приводим дроби к общему знаменателю
$\frac{2(1+2y) +2(2+y)-3(2+y)(1+2y)}{2(2+y)(1+2y)} \geq 0$
Раскрываем скобки
$\frac{2+4y+4+2y-3(2+5y+2y^2)}{2(2+y)(1+2y)} \geq 0$
Упрощаем
$\frac{-6y^2-9y}{2(2+y)(1+2y)} \geq 0$
$\frac{3y(2y+3)}{2(y+2)(2y+1)} \leq 0$
Особые точки: y = 0; -3/2; -2; -1/2
По методу интервалов
y ∈ (-2; -3/2] U (-1/2; 0]
Обратная замена
y = log3 (x) ∈ (-2; -3/2] U (-1/2; 0]
Решаем уравнения:
log3 (x) = -2; x = 3^(-2) = 1/9
log3 (x) = -3/2; x = 3^(-3/2) = 1/√3^3 = 1/(3√3) = √3/9
log3 (x) = -1/2; x = 3^(-1/2) = 1/√3 = √3/3
log3 (x) = 0; x = 3^0 = 1
Ответ: x ∈ (1/9; √3/9] U (√3/3; 1]