при каких значениях параметра а корни уравнения (3a - 1)x2 + (5a +2)(2x - 3) +a2 +10a=0...

Условие существования корней с разными знаками: $\frac{c}{a} <0$ .
для данного случая даже не нужно проверять наличие действительных корней, так как при $\frac{c}{a} <0$ дискриминант будет строго положительным .
Сам многочлен выглядит так: $(3a-1)x^2+2(5a+2)x+a^2-5a-6=0$
Условие разных знаков корней, соответственно: $\frac{(a-6)(a+1)}{3a-1}<0$
Методом интервалов получаем: $x<-1, \frac{1}{3}<x<6$