Прямая ОМ перпендикулярна к плоскости правильного треугольника ABC и проходит через центр...

Question

Прямая ОМ перпендикулярна к плоскости правильного треугольника ABC и проходит через центр О этого треугольника, ОМ = а, ∠MCO = φ. Найдите: а) расстояние от точки М до каждой из вершин треугольника ABC и до прямых АВ, ВС и СA; б) длину окружности, описанной около треугольника ABC; в) площадь треугольника ABC.

Answer 1

) Так как ОМ перпендикулярна плоскости АВС =>
L MOC = 90 град. =>
в треугольнике MOC:
OM = a
L MCO = ф =>
MC = MO \ sin ф = a \ sin ф - расстояние от М до вершины С.
Так как О - центр правильного треугольника =>
MC = MA = MB
2) R = OC = MO \ tg ф = a \ tg ф - радиус описанной окружности =>
C = 2pi * R = 2pi * a \ tg ф - длина описанной окружности
2) R = AB * V3\3 - радиус описанной окружности. и ранее найден
R = a \ tg ф =>
AB * V3\3 = a \ tg ф
AB = aV3 \ tg ф - cторона треугольника АВС
r = AB * V3\6 - радиус вписанной окружности, он же равен расстоянию от центра О до стороны (любой) треугольника АВС =>
r = AB * V3\6 = (aV3 \ tg ф) * V3\6 = a \ 2tg ф
Пусть ОК - перпендикуляр к стороне, например, АС =>
в треугольнике OKM:
L MOK = 90 град.
OK = r = a \ 2tg ф
OM = a =>
MK^2 = OK^2 + OM^2 =
= (a \ 2tg ф) ^2 + a^2 = a^2 * (1+ 4tg^2 ф) \ 4tg^2 ф =>
MK = V{a^2 * (1+ 4tg^2 ф) \ 4tg^2 ф} =
= (a \ 2tg ф) * V{1+4tg^2 ф} - расстояние от М до стороны треугольника АВС
S = AB^2 * V3\4 =
= aV3 \ tg ф * V3\4 = 3a \ 4tg ф