1. Имеем дело с дифференциальным уравнением второго порядка с правой частью.
Нужно найти общее решение неоднородного уравнения:
yо.н. = уо.о. + уч.н.
Где уо.о. - общее решение однородного уравнения, уч.н. - частное решение.
Найдём общее решение соответствующего однородного уравнения.
Перейдем к характеристическому уравнению, осуществив замену 
.
Общее решение однородного уравнения: yo.o. = 
Теперь нужно найти частное решение неоднородного уравнения. Правую часть исходн. ДУ отметим как за две функции, т.е. 
и 
Рассмотрим функцию
Сравнивая 
с корнями характеристического уравнения, и, принимая во внимания, что n=1, частное решение будем искать в виде.
yч.н.₁ = 
И, вычислив первую и вторую производную: 
, подставим в исходное уравнение без функции 
.
Приравниваем коэффициенты при степени х:
уч.н.₁ = (x/3) - 2/9
Рассмотрим теперь функцию
Аналогично сравнивая с корнями характеристического уравнения и принимая во внимая, что n=0, частное решение будем искать в следующем виде:
уч.н.₂ = 
И тогда первая и вторая производная равны соответственно 
и 
Тогда уч.н.₂ = -(1/2) * eˣ
И, воспользовавшись теоремой о суперпозиции, частное решение неоднородного уравнения: уч.н. = уч.н.₁ + уч.н.₂ = (x/3)- (2/9) - (1/2) * eˣ
Тогда общее решение неоднородного уравнения:
Задание 2.
Это ДУ третьего порядка, однородное. Переходим к характеристическому уравнению, сделав замену Эйлера .
Общее решение однородного уравнения: 
Найдем частное решение, подставляя начальные условия.
Частное решение: 