Пусть FO - перпендикуляр к плоскости ромба.
Проведем ОК⊥AB, OL⊥BC, OM⊥CD и ON⊥AD.
Проведенные отрезки - проекции соответствующих наклонных на плоскость ромба, значит и наклонные перпендикулярны сторонам ромба по теореме о трех перпендикулярах.
Т.е. FK = FL = FM = FN = 16 см - расстояния от точки F до сторон ромба.
Если равны наклонные, проведенные из одной точки, то равны и их проекции:
OK = OL = OM = ON, значит О - центр окружности, вписанной в ромб, т.е. точка пересечения его диагоналей.
ΔAOD: ∠AOD = 90°, AO = 8 см, DO = 6 см по свойству диагоналей ромба.
По теореме Пифагора AD = √(AO² + DO²) = √(64 + 36) = 10 см
ON = AO·DO / AD = 6·8 / 10 = 4,8 см
ΔFON: ∠FON = 90°, по теореме Пифагора
FO = √(FN² - ON²) = √(256 - 576/25) = √(5824/25)
ΔFOD: по теореме Пифагора
FD = √(OD² + FO²) = √(36 + 5824/25) = √(6724/25) = 82/5 = 16,4 см
ΔAOF: по теореме Пифагора
FA = √(AO² + FO²) = √(64 + 5824/25) = √(7424/25) = 16√29/5 см
FB = FD = 16,4 см
FA = FC = 16√29 / 5 см так как треугольники FBD и FAC равнобедренные (FO в них высота и медиана)