--------------Вывести уравнение кривой, если сумма расстояний от каждой ее точки до точек...

Question

--------------Вывести уравнение кривой, если сумма расстояний от каждой ее точки до точек F1(–6;0) и F2(2;0) есть величина постоянная и равна p=10. Сделать чертеж


---------------------Решение. Обозначим через M(x,y) произвольную точку кривой. Запишем геометрическое свойство точек кривой:
|AM| + |BM| = 10.
--------------Распишем это уравнение:

√((x+6)^2+y^2 )+√((x-2)^2+y^2 )=10

решить уравнение

Answer 1

Имеем уравнение √((x+6)²+y²)+√((x-2)²+y²)=10.
Перенесём направо один корень и возведём обе части в квадрат.
√((x+6)²+y² ) = 10 - √((x-2)²+y²).
(x+6)²+y² = 100 - 20√((x-2)²+y²) + (x-2)²+y².
Раскроем скобки и приведём подобные.
x²+12x+36+y² = 100 - 20√((x-2)²+y²) + x²-4x+4+y².
 5√((x-2)²+y²) = -4x+17. Возведём в квадрат и приведём подобные.
25((x-2)²+y²) = 16x²-136x+289.
25(x²-4x+4+y²) = 16x²-136x+289.
25x²-100x+100+25y² = 16x²-136x+289.
9x²+36x+25y² = 189.
25y²+9x²+36x = 189.
Получаем уравнение относительно у:
у = +-√(-9x²-36x+189)/5.
Это уравнение эллипса с центром в точке (-2; 0), с фокусами F1(–6;0) и F2(2;0), а = 10/2 = 5.

---