Даны координаты вершин треугольника:
А(1; 0), В(13; -9), С(17; 13).
1)
Расчет длин сторон.
АВ (с) =
√((Хв-Ха)²+(Ув-Уа)²) √(144+81) = √225 =
15.
Ответ: АВ = 15.
2) Угол А найдём по теореме косинусов.
Для этого находим оставшиеся стороны:
BC (а)= √((Хc-Хв)²+(Ус-Ув)²) = √500 ≈ 22,36067977.
AC (b) = √((Хc-Хa)²+(Ус-Уa)²) = √425 ≈ 20,61552813.
cos A = (b² + c² - a²)/(2ab) = (425 + 225 - 500)/(2*√425*15) =
= 150/(30√
425) = 5/(√425) = 5√425/(425) = √425/85 ≈
≈
0,242536.
Этому косинусу соответствует угол 1,325818
радиан или
75,96376°.
Ответ: угол А равен примерно 1,33 радиан.
3) Находим координаты точки М как середину стороны ВС.
М((13+17)/2=15; (-9+13)/2=2) = (15; 2).
Теперь определяем уравнение АМ: точка А(1; 0).
АМ: (х - 1)/14 = (у - 0)/2.
Сократим на 2 и получаем каноническое уравнение АМ:
АМ : (х - 1)7 = у/1.
х - 7у - 1 = 0 это же уравнение общего вида.
у = (1/7)х - (1/7) это же уравнение с угловым коэффициентом.
4) Уравнение СК имеет угловой коэффициент к(СК) = -1/к(АВ).
Находим уравнение АВ, точки А(1; 0), В(13; -9).
АВ: (х - 1)/12 = у/(-9) сократим на 3:
АВ: (х - 1)/4 = у/(-3).
у = (-3/4)х + (3/4).
Тогда к(СК) = -1/(-3/4) = 4/3.
СК: (у = 4/3)х + в.
Для определения коэффициента в поставим координаты точки С:
13 = (4/3)*17 + в,
в =(39 - 68)/3 = -29/3.
СК: у = (4/3)х - (29/3)
4х
-
3у -
29
=
0.
5) Находим уравнение высоты из точки А.
Координаты точек: А(1; 0), В(13; -9), С(17; 13).
Высота АР, опущенная из вершины A проходит через эту точку и перпендикулярна вектору BC=(17 − 13; 13 − (−9) = (4; 22).
Значит, ее уравнение 4(x − 1) + 22(y − 0) = 0
4х - 4 + 22у = 0. Можно сократить на 2:
2х + 11у - 2 = 0
Теперь находим координаты точки пересечения высот как систему из двух уравнений высот АР и СК .
2х + 11у - 2 = 0|x(-2) -4x - 22y + 4 = 0
4х - 3у - 29 = 0 4х - 3у - 29 = 0.
-----------------------
-25y -25 = 0.
y = 25/(-25) = -1.
x = (-11y + 2)/2 = ((-11*(-1)) + 2)/2 = 13/2 =6,5.
6) Площадь треугольника ABC.
S=(1/2)*|(Хв-Ха)*(Ус-Уа)-(Хс-Ха)*(Ув-Уа)| =
150.
