∫(sin(arctgx)dx/(1+x²))= заменим синус арктангенса на "эквивалент"
∫(х/√(1+х²))dx/(1+x²)= приведём всё в порядок
∫хdх/(1+х²)^(3/2)= заменим 1+х²=t, тогда dt=2хdx, то есть хdx=dt/2
∫dt/(2t^(3/2))= вынесем 1/2 за знак интеграла
1/2 ∫dt/(t^(3/2))= воспользуемся таблицей интегралов
1/2 * (t^(-1/2))/(1/2)+С= опять приведём в порядок
1/√t +C= сделаем обратную замену
1/√(1+х²)+С.