1) На клумбе цвели пионы и тюльпаны.
Запятая не нужна, т.к. союз "и" соединяет однородные подлежащие (пионы, тюльпаны).
2) Щенку налили молока, и он стал смешно лакать.
Запятая нужна, т.к. предложение сложное.
Грамматические основы: 1. Налили. 2. Он стал лакать.
3) Дай мне линейку или угольник.
Запятая не нужна, т.к. союз "или "соединяет однородные дополнения (линейку, угольник).
4) Ты уже починил свой телевизор, или он всё еще не работает?
Запятая нужна, т.к. предложение сложное.
Грамматические основы: 1. Ты починил. 2. Он не работает.
5) Он не заболел, а просто устал.
Запятая нужна, т.к. однородные сказуемые (не заболел, устал) с союзом "а".
6) Все ушли домой, а мы продолжали купаться.
Запятая нужна, т.к. предложение сложное.
Грамматические основы: 1. Все ушли. 2 . Мы продолжали купаться.
7) Он выглядел усталым, но довольным.
Запятая нужна, т.к. однородные члены с союзом "но".
8) Выглянуло солнце, но было еще прохладно.
Запятая нужна, т.к. предложение сложное.
Грамматические основы: 1. Выглянуло солнце. 2. Было прохладно.