I и j в записях градиентов являются единичными векторами, т.е. над этими буквами ставить значок вектора.
1. Z=x^2y^5.
dz/dx=2x·y^5.
dz/dy=5x^2·y^4.
grad z=2xy^5· i(вектор) +5x^2·y^4·j(вектор).
grad z (M)=2i+5j.
2. Z=x^2+y^3.
grad z=2x·i+3y^2·j.
grad z (M)=2i+3j.
3.z=x^3+y^(1/2).
grad z=3x^2·i+1/2y^(-1/2)·j.
grad z (M)=3i+1/2·j.
4. z=x^2·y+x^5.
grad z=(2xy+5x^4)i+x^2·j.
grad z (M)=7i+j.
5. Z=xy^3.
grad z=y^3·i+3xy^2·j.
grad z (M)=i+3j.
6. Z=x+y.
Grad z=i+j.
Grad z (M)=i+j.
7. Z=x^3·y^3.
Grad z=3x^2·y^3·i+3x^3·y^2·j.
Grad z (M)=3i+3j.
8.z=x^4+y^5.
Grad z=4x^3·i+5y^4·j.
Grad z (M)=4i+5j.
9. Z=x^1/2 + y^2.
grad z =1/2·x^(-1/2)·i+2y·j.
Grad z (M)= 1/2·i+2j.
10. Z=x^1/2·y.
Grad z=1/2·x^(-1/2)·y·i+x^1/2·j.
Grad z (M)=1/2·i+j.
Общий принцип решения:
1. Берем производную от z по х. Т.е. мысленно представляем, что у является константой.
2. Берем производную от z по у, представляя х константой.
3. В градиенте производную из пункта один пишем возле I, из пункта два-возле j.
4. В градиент подставляем вместо х первую цифру М , вместо у- вторую.