При каких значениях параметра a система уравнений x+y+z=a x^2+y^2=z имеет единственное...

Система равносильна

$\displaystyle \left \{ {{z=a-x-y} \atop {x^2+y^2=a-x-y}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{z=a-x-y} \atop {(x+\frac{1}{2})^2+(y+\frac{1}{2})^2=a+\frac{1}{2}}} \right.$

Поэтому единственное решение будет при a= - 1/2. В качестве бонуса - само решение:

$\displaystyle\left(-\frac{1}{2};-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)$