Найти частное решение уравнения: y’’+3y’+2y=0. ; y(0)=2 , y’(0)=2

Однородное уравнение. Пусть y=exp{kx}, тогда

$k^2+3k+2=0$ - характеристическое уравнение

$k_1=-2\\ k_2=-1$

$y=C_1e^{-2x}+C_2e^{-x}$ - общее решение однородного ДУ.

$y'=-2C_1e^{-2x}-C_2e^{-x}$

Подставив начальные условия, составим систему уравнений

$\displaystyle \left \{ {{2=C_1+C_2} \atop {2=-2C_1-C_2}} \right. ~~\Rightarrow~~~ \left \{ {{C_1=-4} \atop {C_2=6}} \right.$

$\boxed{y=-4e^{-2x}+6e^{-x}}$ - частное решение.