Дана система уравнений:
{x² + y² - 2z² = 50 (1)
{x + y + 2z = 104 (2)
{z² - xy = 25. (3)
Выразим z² их уравнения (3) и подставим в уравнение (1).
x² + y² - 2 xy - 50 = 50.
Выделим полный квадрат:
x² - 2xy + y² = 100.
(x - y)² = 100.
x - y = +-10.
Отсюда видно, что значения х и у могут иметь по 2 значения:
х - у = 10, (4)
-х + у = 10. (5)
В уравнении (1) разделим обе части на 2 и вместе с уравнением (3) запишем так:
Сложим эти 2 уравнения и приведём к общему знаменателю:
4z² = x² + y² +2xy.
4z² = (x + y)².
Извлечём корень: 2z = х + у. (6)
Из уравнения (2) имеем 2z = 104 - (х + у) и значение 2z подставим в уравнение (6): 104 - (х + у) = х + у.
Отсюда имеем 2(х + у) = 104,
х + у = 104/2 = 52. (7)
Теперь, сопоставив уравнения (4), (5) и (7), получаем значения х и у:
{ х - у = 10, (4)
{ х + у = 52. (7)
----------------
2x = 62 x= 62/2 = 31, y = x - 10 = 31 - 10 =21.
{ -х + у = 10, (5)
{ х + у = 52. (7)
----------------
2y = 62 y= 62/2 = 31, x = y - 10 = 31 - 10 =21.
Значение z получится одно:
z = (x + y)/2 = 52/2 = 26.
В соответствии с заданием получается 2 ответа:
1) Если решений несколько, выберите то, в котором x принимает наибольшее значение. В ответ впишите значение величины
10000x+100y+z = 310000+2100+26 = 312126.
2) 10000x+100y+z = 210000+3100+26 = 213126.