Решите дифференциальное уравнение второго порядка. Подробно, с решением: y`` + 9y =...

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

Это дифференциальное уравнение второго порядка с правой частью и относиться ко второму типу.
Нужно найти общее решение неоднородного уравнения в следующем виде

yо.н. = yo.o. + yч.н.

где уо.о. - общее решение однородного уравнения, уч.н. - частное решение.

1. Найдем общее решение дифференциального уравнения соответствующего однородного уравнения :

$y''+9y=0$

Осуществив замену Эйлера $y=e^{kx}$ получим характеристическое уравнение:
$k^2+9=0\\ k=\pm3i$

Общее решение однородного уравнения: $y_{o.o.}=C_1\cos 3x+C_2\sin 3x$

2. Нахождение частного решения неоднородного ДУ.
Рассмотрим $f(x)=15\sin 2x$ ;
$P_n(x)=0;~~~ \alpha =0;~~~~ Q_n(x)=15~~~~\Rightarrow~~~~~ n=0;~~~~ \beta =2$

Сравнивая $\alpha$ с корнями характеристического уравнения и, принимая во внимая, что $n=0$ , частное решение будем искать в виде:
у ч.н. = $A\cos 2x+B\sin2x$

Найдем вторую производную частного решения:
$y'=-2A\sin2x+2B\cos2x\\ y''=-4A\cos2x-4B\sin2x$

Подставив эти данные в исходное уравнение, получим
$-4A\cos2x-4B\sin2x+9A\cos 2x+9B\sin2x=15\sin2x\\ 5A\cos2x+5B\sin2x=15\sin2x$

Приравниваем коэффициенты при $\cos2x$ и $\sin2x$
$\displaystyle \left \{ {{5A=0} \atop {5B=15}} \right. ~~~~\Rightarrow~~~~~ \left \{ {{A=0} \atop {B=3}} \right.$

Частное решение: уч.н. = $3\sin2x$

Тогда общее решение неоднородного уравнения:
$\boxed{y=C_1\cos3x+C_2\sin3x+3\sin2x}$

LecToRJkeeeee_zn (51.5k баллов) 28 Май, 18