Даны координаты вершин пирамиды
O(0; 0; 0), M1(-1; -3; 0), M2(2; -1; 0), M3(0; 0; 4)
и отрезки
a=OM1, b=M1M2, c=M2M3.
а) Вычислите скалярное произведение a*b.
Определяем координаты векторов:
а = (-1; -3; 0), b = ((2+1=3; -1+3=2; 0-0=0). c = (0-2=-2; 0+1=1;
4-0=4).
а = (-1; -3; 0), b = (3; 2; 0). c = (-2; 1; 4).
a*b =( -1*3+(-3)*2+0*0) = -3-6+0 = -9.
б) Вычислите векторное произведение a*b.
Векторное произведение векторов a × b =
{ay*bz - az*by; az*bx - ax*bz; ax*by - ay*bx} =
(-3*0-0*2=0; 0*3-(-1)*0=0; -1*2-(-3)*3=7) = (0; 0; 7).
в) Найдите косинус угла между векторами
a+b и c. Векторы равны: а = (-1; -3; 0), b = (3; 2; 0). c = (-2; 1; 4).
Находим а + b = (-1+3=2; -3+2=-1; 0+0 = 0) = (2; -1; 0)
Тогда cos α = |2*(-2)+(-1)*1+0*4|/(√(4+1+0)*√(4+1+16)) =
=|-4-1+0|/(√5*√21) = 5/√105 = √105/21 ≈ 0,48795.
arc cos α =
1,06106 радиан =
60,7941°.
г) Найдите площадь треугольника M1M2M3.
Площадь треугольника равна половине векторного произведения векторов M1M2 на M1M3.
Вектор a = M1M2 Вектор b = M1M3
х у
z х
у
z
3 2
0 1 3 4.
Векторное
произведение векторов
a × b = = {aybz - azby; azbx - axbz; axby - aybx} =
= (2*4-0*2; 0*1-3*4; 3*3-2*1) = (8; -12; 7).
S = (1/2)*√(64+144+49) = (1/2)*√257 ≈
8,01561.
д) Найдите объем тетраэдра OM1M2M3.
Находим координаты векторов
ОМ1= {Bx - Ax; By - Ay; Bz - Az} = {-1 - 0; -3 - 0; 0 - 0} = {-1; -3; 0}
ОМ2 = {Cx - Ax; Cy - Ay; Cz - Az} = {2 - 0; -1 - 0; 0 - 0} = {2; -1; 0}
ОМ3 = {Dx - Ax; Dy - Ay; Dz - Az} = {0 - 0; 0 - 0; 4 - 0} = {0; 0; 4}
Найдем смешанное произведение векторов:
ОМ1*ОМ2*ОМ3 =
= (-1)·(-1)·4 + (-3)·0·0 + 0·2·0 - 0·(-1)·0 - (-3)·2·4 - (-1)·0·0 = 4 - 0 + 0 + 0 + 24 + 0 = 28.
Объём пирамиды равен (1/6) от этой величины:
V = (1/6)*28 = 14/3 ≈ 4,66666667.