Sinx - cosx = 1 - 3sinxcosx - Все ответы

$\sin x-\cos x=1-3\sin x\cos x\\ \\ \sin x-\cos x=\sin^2x-2\sin x\cos x+\cos^2x-\sin x\cos x\\ \\ \sin x-\cos x=(\sin x-\cos x)^2-\sin x\cos x$

Пусть $\sin x-\cos x=t$ и при этом $|t|\leq\sqrt{2}$ , тогда, возведя обе части равенства, $1-2\sin x\cos x=t^2~~~~\Rightarrow~~~~~ \sin x\cos x= \frac{1-t^2}{2}$
Получим

$t=t^2- \frac{1-t^2}{2}~~~|\cdot 2\\\\ 2t=2t^2-1+t^2\\ \\ 3t^2-2t-1=0$

$D=b^2-4ac=(-2)^2-4\cdot3\cdot(-1)=4+12=16$

$t_1= \frac{2+4}{6}=1\\ \\ t_2= \frac{2-4}{6}=- \frac{1}{3}$

Осуществив обратную замену, получаем:

$\sin x-\cos x=1\\ \sqrt{2} \sin(x- \frac{\pi}{4})=1;~~~~\Rightarrow~~~~ \sin(x- \frac{\pi}{4})= \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \\ \boxed{x_1=(-1)^k\cdot \frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{4}+ \pi k,k \in \mathbb{Z} }$

$\sin x-\cos x=-1/3;~~~~\Rightarrow~~~~ \sin(x-\frac{\pi}{4})=- \frac{1}{3 \sqrt{2} } \\ \\ \boxed{x_2=(-1)^{k+1}\cdot\arcsin\frac{1}{3 \sqrt{2} }+\frac{\pi}{4}+ \pi k,k \in \mathbb{Z}}$