Если рассматриваемый треугольник является прямоугольным, то можно
использовать базовое определение тригонометрической функции синуса для
острых углов. По определению синусом угла называют соотношение длины
катета, лежащего напротив этого угла, к длине гипотенузы этого
треугольника. То есть, если катеты имеют длину А и В, а длина гипотенузы
равна С, то синус угла α, лежащего напротив катета А, определяйте по
формуле α=А/С, а синус угла β, лежащего напротив катета В - по формуле
β=В/С. Синус третьего угла в прямоугольном треугольнике находить нет
необходимости, так как угол, лежащий напротив гипотенузы всегда равен
90°, а его синус всегда равен единице.
2
Для нахождения
синусов углов в произвольном треугольнике, как это ни странно, проще
использовать не теорему синусов, а теорему косинусов. Она гласит, что
возведенная в квадрат длина любой стороны равна сумме квадратов длин
двух других сторон без удвоенного произведения этих длин на косинус угла
между ними: А²=В²+С2-2*В*С*cos(α). Из этой теоремы можно вывести
формулу для нахождения косинуса: cos(α)=(В²+С²-А²)/(2*В*С) . А поскольку
сумма квадратов синуса и косинуса одного и того же угла всегда равна
единице, то можно вывести и формулу для нахождения синуса угла α:
sin(α)=√(1-(cos(α))²)= √(1-(В²+С²-А²)²/(2*В*С) ²).
3
Воспользуйтесь
для нахождения синуса угла двумя разными формулами расчета площади
треугольника, в одной из которых задействованы только длины его сторон, а
в другой - длины двух сторон и синус угла между ними. Так как
результаты их будут равны, то из тождества можно выразить синус угла.
Формула нахождения площади через длины сторон (формула Герона) выглядит
так: S=¼*√((А+В+С) *(В+С-А) *(А+С-В) *(А+В-С)) . А вторую формулу можно
написать так: S=А*В*sin(γ). Подставьте первую формулу во вторую и
составьте формулу для синуса угла, лежащего напротив стороны С: sin(γ)=
¼*√((А+В+С) *(В+С-А) *(А+С-В) *(А+В-С) /(А*В)) . Синусы двух других
углов можно найти по аналогичным формулам.