Уравнение с параметром. 25 баллов

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

При каких значениях а уравнение
$\sqrt{ 2\sqrt{x}-a}+ \frac{a-3}{ \sqrt{ 2\sqrt{x}-a}} =4$
имеет ровно два корня?

Решение:
Сделаем замену переменных
$y= \sqrt{ 2\sqrt{x}-a}$
Очевидно что при любом положительном значении y переменная х будет иметь единственное значение. Покажем это
$y^2= 2\sqrt{x}-a}$
$\sqrt{x} = \frac{y^2+a}{2}$
$x = \frac{(y^2+a)^2}{4}$
Следовательно, чтобы исходное уравнение имело ровно два корня необходимо чтобы уравнение
$y+ \frac{a-3}{y}=4$
имело ровно два положительных корня y₁>y₂>0.
Так как у не равен нулю то умножим обе части уравнения на у.
                    y² + a - 3 = 4y
   y² - 4y + a - 3 = 0
Получили квадратичное уравнение.
Данное уравнение имеет два корня если его дискриминант больше нуля.
D = (-4)² - 4*(a - 3) = 16 - 4a + 12 = 28 - 4a = 4(7 - a)
                   D > 0
                7- a >0
                    a < 7
Корни уравнения
$y_1= \frac{4+ 2\sqrt{7-a} }{2}=2+ \sqrt{7-a}$
$y_2= \frac{4- 2\sqrt{7-a} }{2}=2- \sqrt{7-a}$
Проверим условие, что корни должны быть положительными
$2- \sqrt{7-a}\ \textgreater \ 0$
$\sqrt{7-a}\ \textless \ 2$
         7 - a < 4
               a > 3
Следовательно исходное уравнение имеет ровно два корня при всех значениях параметра а∈(3;7)

Ответ: а∈(3;7)

Minsk00_zn (11.0k баллов) 28 Май, 18