Помогите, пожалуйста, решить неравенство. Подробно.

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

Учтем, что:
$(x+2)^2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2 \\(x-3)^2 \neq 0\Rightarrow x \neq 3$
умножим обе части на (x+2)^2(x-3)^2 (так как данное выражение положительно и не равно 0 по одз) и свернем числители по формулам квадрат суммы и квадрат разности:
$(x-3)^2(x-1)^2+(x+2)^2(x+1)^2 \leq \frac{1}{2} *(2x^2-x+5)^2 \\(x^2-x-3x+3)^2+(x^2+x+2x+2)^2 \leq \frac{1}{2} *(2x^2-x+5)^2$
воспользуемся формулой квадрат трехчлена:
$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$
получим:
$(x^2-4x+3)^2+(x^2+3x+2)^2 \leq \frac{1}{2}*(2x^2-x+5)^2 \\(x^2-4x+3)^2=x^4+16x^2+9-8x^3+6x^2-24x=x^4-8x^3+22x^2\\-24x+9 \\(x^2+3x+2)^2=x^4+9x^2+4+6x^3+4x^2+12x=x^4+6x^3+13x^2\\+12x+4 \\2x^4-2x^3+35x^2-12x+13 \leq \frac{1}{2}*(2x^2-x+5)^2 \\4x^4-4x^3+70x^2-24x+26 \leq (2x^2-x+5)^2 \\(2x^2-x+5)^2=4x^4+x^2+25-4x^3+20x^2-10x=4x^4-4x^3+21x^2\\-10x+25 \\4x^4-4x^3+70x^2-24x+26 \leq 4x^4-4x^3+21x^2-10x+25 \\70x^2-24x+26 \leq 21x^2-10x+25 \\70x^2-21x^2-24x+10x+26-25 \leq 0$
$49x^2-14x+1 \leq 0 \\(7x)^2-2*1*7x+1^2 \leq 0 \\(7x-1)^2 \leq 0$
выражение (7x-1)^2 всегда больше или равно 0, поэтому:
$\left \{ {{(7x-1)^2 \leq 0} \atop {(7x-1)^2 \geq 0}} \right. \Rightarrow x \in \{ \frac{1}{7} \}$
решением неравенства является единственное значение x: x=1/7
Ответ: $x \in \{ \frac{1}{7} \}$

AnonimusPro_zn (149k баллов) 28 Май, 18