Найдите первообразные 4/✓4x+1

Во-первых, приведём дифференциал к виду подынтегральной функции. Эта функция есть не что иное, как степенная функция, табличный интеграл которой берётся по формуле:

$\int\limits {x^n} \, dx = \frac{1}{n+1}x^{n+1} + C$

Когда дифференциал приводим к виду подынтегральной функции, используем тот факт равенства дифференциалов:
4 dx = 4 d(4x + 1)

$\int\limits { \frac{4}{\sqrt{4x+1}} } \, dx = \int\limits { \frac{1}{\sqrt{4x+1}} } \, d(4x+1)= \int\limits { (4x+1)^{- \frac{1}{2} } } \, d(4x+1)= \\ \\ = \frac{1}{ -\frac{1}{2} +1} (4x+1)^{- \frac{1}{2}+1 } +C =2 \sqrt{4x+1} +C$

Такой же результат получаем путём замены t = 4x + 1, тогда dt = dx.