Решите уравнение

Question 1

Решите уравнение $\sqrt[4]{x+8} - \sqrt[4]{x-8} = 2$

Question 2

$\sqrt[4]{x+8}-\sqrt[4]{x-8}=2; \sqrt[4]{x+8}=a; \sqrt[4]{x-8}=b;$

уравнение равносильно системе

$\left \{ {{a-b=2} \atop {a^4-b^4=16}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{a=b+2} \atop {b^4+8b^3+24b^2+32b+16-b^4=16}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{a=b+2} \atop {b(b^2+3b+4)=0}} \right.$

Второе уравнение имеет единственное решение b=0, то есть x=8. Проверка: 2-0=2 - верно.

Ответ: 8

Замечание. Можно решать по-другому: Угадать решение x=8, после чего с помощью производной доказать монотонность функции, стоящей в левой части уравнения.

yugolovin_zn · Answer 1 · 2018-05-28T09:14:21+0000

$\sqrt[4]{x+8}-\sqrt[4]{x-8}=2; \sqrt[4]{x+8}=a; \sqrt[4]{x-8}=b;$

уравнение равносильно системе

$\left \{ {{a-b=2} \atop {a^4-b^4=16}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{a=b+2} \atop {b^4+8b^3+24b^2+32b+16-b^4=16}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{a=b+2} \atop {b(b^2+3b+4)=0}} \right.$

Второе уравнение имеет единственное решение b=0, то есть x=8. Проверка: 2-0=2 - верно.

Ответ: 8

Замечание. Можно решать по-другому: Угадать решение x=8, после чего с помощью производной доказать монотонность функции, стоящей в левой части уравнения.