Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка.

4.9. $y''-3y'+2y = 3cosx + 19sinx$

Сначала найдём общее решение Y однородного уравнения:
$y''-3y'+2y = 0$

Составляем характеристическое уравнение и находим общее решение Y:
$\lambda ^2 -3\lambda +2 = 0 \\ \\ \lambda_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{3^2-4*1*2} }{2*1} = \frac{3\pm1}{2} \\ \\ \lambda_1 = 1 \\ \lambda_2 = 2 \\ \\ Y = C_1 e^x + C_2 e^2x$

Т.к. в правой части функция из синусов и косинусов f(x) = 3cosx + 19sinx, частное решение ищем в виде y = Acosx + Bsinx.
Найдём производные:
y' = -Asinx + Bcosx
y'' = -Acosx - Bsinx

Подставляем в исходное уравнение и методом неопределённых коэффициентов находим А и В:
$y''-3y'+2y = 3cosx + 19sinx \\ \\ -Acosx - Bsinx -3(-Asinx + Bcosx) + 2(Acosx + Bsinx) = \\ = 3cosx + 19sinx \\ \\ cosx (A-3B) + sinx (B+3A) = 3cosx + 19sinx \\ \\ A - 3B = 3 \\ B + 3A = 19 \\ \\ A =3 + 3B; \\ B+3(3 + 3B) = 19 \\ 10B =10 \\ B=1 \\ A=3+3*1 = 6$

Итак, частное решение:
$y = 6cosx +sinx$

Остаётся просуммировать общее и частное решение, т.е. Y+y

$y = C_1 e^x + C_2 e^2x + 6cosx +sinx$