Найти общее решение дифференциального уравнения.

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

1.9. Однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами: $y''+py'+qy = 0$ .
Чтобы решить такое уравнение надо составить характеристическое уравнение $\lambda ^2 +p \lambda +q = 0$ , где $\lambda^2$ вместо второй производной, $\lambda$ вместо первой производной, вместо у ничего не пишется.

а)
$y'' +7y' = 0 \\ \\ \lambda^2 +7\lambda = 0 \\ \\ \lambda(\lambda+7) = 0 \\ \\ \lambda_1 = -7 \\ \lambda_2 = 0$

Когда два действительных корня, то общее решение однородного уравнения имеет вид:
$y = C_1 e^{\lambda_1 x} + C_2 e^{\lambda_2 x}$
Подставляем и всё:
$y= C_1 e^{-7x} + C_2 e^{0*x} = C_1 e^{-7x } + C_2$

б)
$y'' -5y' +4y = 0 \\ \\ \lambda^2 - 5 \lambda + 4= 0 \\ \\ \lambda_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{25-4*1*4} }{2} = \frac{5 \pm 3}{2} \\ \\ \lambda_1 =1 \\ \lambda_2 = 4 \\ \\ y = C_1e^x + C_2 e^{4x}$

в)
$y'' + 16y =0 \\ \\ \lambda^2 +16 = 0 \\ \\ \lambda^2 = -16 \\ \\ \lambda = \pm 4i$

Когда характеристическое уравнение имеет сопряжённые комплексные числа, т.е.
$\lambda_1 = \alpha - \beta i \\ \lambda_2 = \alpha + \beta i$
Решение имеет вид:
$y = e^{ \alpha x}(C_1 cos \beta x + C_2 sin \beta x )$

У нас
$\lambda_1 = 0 - 4 i \\ \lambda_2 = 0 + 4 i$
Подставляем
$y = e^{ 0* x}(C_1 cos 4 x + C_2 sin 4 x ) = C_1 cos 4 x + C_2 sin 4 x$

AssignFile_zn (43.0k баллов) 28 Май, 18