Найдите сумму если a^2-a+1=0

$a^2-a+1=0\Rightarrow a^3=-1$

Это доказывается или домножением этого равенства на a+1 (получаем сумму кубов), или домножением на a:

$a^3-a^2+a=0; a^3=a^2-a=-1$

Поэтому $a^{2003}=(a^3)^{667}\cdot a^2=(-1)^{667}(a-1)=1-a;$

$a^{-2203}=(a^3)^{-668}\cdot a=(-1)^{-668}\cdot a=a;$

$a^{2003}+\frac{1}{a^{2003}}=1$