Log^2(x;(x+2))⩾ log^2((x+2);x)

Для начала найдём ОДЗ:
$\left \{ {{x\ \textgreater \ 0} \atop {x \neq 1}} \right.$
Этого уже достаточно, потому что x + 2 при x > 0 (из найденного) тоже будет больше нуля, а равняться единице оно может только при x = -1 (что не удовлетворяет x > 0)

Вспомним, что $log_{a}{b} = \frac{1}{log_{b}{a}}$ . Тогда $log_{x+2}x= \frac{1}{log_{x}{(x+2)}}$ . Пусть $log_{x}{(x+2)} = t$
$t^2 \geq ( \frac{1}{t} )^2 \\ t^2- \frac{1}{t^2} \geq 0 \\ \frac{t^4-1}{t^2} \geq 0$
Решая неравенство, получаем:
$\left [ {{t \leq -1} \atop {t \geq 1}} \right. \\ \left [ {{log_{x}{(x+2)} \leq -1} \atop {log_{x}{(x+2)} \geq 1}} \right. \\ \left [ {{log_{x}{(x+2)} \leq log_{x}{(x^{-1})} \atop {log_{x}{(x+2) \geq log_{x}{(x)}} \right.$
По методу рационализации $log_{a}{(F) V log_{a}{(G) \rightarrow (a-1)(F-G)V0$ получаем:
$\left [ {{(x-1)(x+2- \frac{1}{x} ) \leq 0} \atop {(x-1)(x+2-x) \geq 0}} \right.$
Решив неравенства и учтя ОДЗ, получаем ответ:
$x\in[ \sqrt{2} - 1; 1)\cup(1; +\infty)$