1. Наблюдать - это инфинитив, он может быть любым членом предложения. Если он стоит на первом месте, а второй главный член предложения выражен существительным, то инфинитив - подлежащее, а существительное - сказуемое. Всё зависит от места в предложении. Например: ОБЛИВАТЬСЯ (сказуемое) холодной водой - необходимое УСЛОВИЕ (сказуемое) закаливания.
2. Подлежащим может быть местоимение, в данном случае вопросительное. Оно указывает на лицо, но не называет его. Если бы предложение было таким: СОСЕД накормит кота? Тут вопрос не возникает, где подлежащее, а в нашем предложении местоимение КТО заменяет существительное, поэтому выполняет роль подлежащего. Сравни: ОН накормит кота? НИКТО не накормит кота.
3. Это сложное предложение, поэтому нужно рассматривать главные члены предложения в каждой части. НЕЛЬЗЯ НЕ ЛЮБИТЬ - это сказуемое в односоставном безличном предложении, здесь просто нет подлежащего. Слово КОТОРЫЙ - это опять-таки местоимение, относительное. Чтобы правильно определить его синтаксическую функцию, нужно найти слово в главном предложении, которое это местоимение заменяет. Это слово КОТА. Ставим мысленно это слово вместо КОТОРЫЙ, получается КОТ живет в нашем дома, это подлежащее, значит и который тоже подлежащее.
СРАВНИ: Вот дом, который построил ДЖЕК. (Джек построил (кого? что?) дом, (кого? что?) который - это дополнение.
4. Что-то хулиганское - это неделимое по смыслу словосочетание (неопределенное местоимение + имя прилагательное): что-то непонятное, что-то интересное.