В кубе ABCDA1B1C1D1 точки Е и F - середины рёбер соответственно А1В1 и В1С1. Найдите...

Question

В кубе ABCDA1B1C1D1 точки Е и F - середины рёбер соответственно А1В1 и В1С1. Найдите косинус угла между прямыми АЕ и ВF.

Answer 1

Примем длину рёбер куба за 1.
Ориентируем куб в осях: вершина В - в начале координат. ВА - по оси Ох, ВС - по оси Оу.
Определяем координаты точек и векторов.
А(1: 0; 0), Е(0,5; 0; 1), вектор АЕ: (-0,5; 0; 1).
В(0; 0; 0), F(0; 0,5; 1), вектор BF: (0; 0,5; 1).
Модули векторов: |AE| = √((1/4)+0+1) = √5/2.
                               |BF| = √(0+(1/4)+1) = √5/2.
Скалярное произведение AE*BF = 0+0+1 = 1.
Тогда cos α = 1/((√5/2)*(√5/2)) = 4/5.
α = arc cos(4/5) =  0,643501 радиан = 36,8699°.