Выразим изменение толщины слоя шара в ходе таяния: (r - изменение толщины слоя)
dr=dV/S;
Объем можно выразить, как V=m/ρ.
dr=dm/ρS;
Массу выразим через кол-во теплоты: Q=λm, m=Q/λ.
dr=dQ/λρS;
Теперь Q заменим по формуле теплопередачи: Q=αSΔΤτ.
dr=dτ*αSΔΤ/λρS = dτ*αΔΤ/λρ;
Поскольку начальная толщина была равна радиусу, а конечная равна 0 (шар растаял), то R-r=0. Отсюда r=R;
R=τ*αΔΤ/λρ;
Осталось просто выразить τ:
τ=Rλρ/αΔΤ.
ρ=900 кг/м³ - плотность льда, табличная величина;
λ=340 кДж/кг - удельная теплота плавления льда, табличная величина;
R=0.05 м;
α=85 Вт/К*м;
ΔΤ=25-0=25 К;
Подставляем и считаем.
В итоге выходит τ=7200 с = 2 ч;
Ответ: 2 ч.
Есть другой способ решения:
Само собой разумеется, что слои шара одинаковой толщины будут таять за одинаковое время. За первую секунду растает слой толщиной h, за десятую секунду растает тоже слой толщиной h, и так далее.
Значит кол-во секунд, которое понадобится на таяние всего шара будет равно кол-ву этих слоев h, т. е. R/h.
Радиус шара мы знаем, остается найти, слой какой толщины тает за 1 секунду.
Q=λm=λρV=λρSh;
Формула теплообмена: Q=αSΔΤτ;
Поскольку мы ищем толщину растаявшего слоя за 1 секунду, τ=1.
Выражаем h:
h=Q/λρS=αSΔΤτ/λρS=αΔΤτ/λρ;
Осталось лишь подставить h в нашу начальную формулу:
t=R/h=RαΔΤτ/λρ;
R=5 см = 0.05м;
α=85 Вт/К*м;
ΔΤ=25 К;
τ=1 c;
λ=340 кДж/кг;
ρ=900 кг/м³;
Подставляем и считаем. Ответ получится 7200 с, т. е. 2 ч.
Ответ: 2 ч