Дан тетраэдр DABC. Точки M,N,K лежат ** гранях, а не ** ребрах. M принадлежит плоскости...

0 голосов
144 просмотров

Дан тетраэдр DABC. Точки M,N,K лежат на гранях, а не на ребрах. M принадлежит плоскости DAC, N принадлежит плоскости DAB, K принадлежит плоскости основания ABC. Построить сечение через точки M, N, K и объяснить его ( что делали и почему ).


Алгебра (997 баллов) | 144 просмотров
Дан 1 ответ
0 голосов
Правильный ответ

Вас просто пугает, что прямые не лежат в плоскостях граней. Но "проекции на лист бумаги" этих прямых, и - главное - точек пересечения с плоскостями граней построить совсем не сложно.
Точки M и N лежат на смежных гранях, линией пересечения которых является ребро AD. Если провести DM и DN, то они где-то пересекут ребра основания. Пусть DM пересекает AC в точке Q, а DN пересекает AB в точке P. Все 5 точек D, M, Q, P, N лежат в одной плоскости, проходящей через прямые DM и DN. Значит (это ооочень тривиальное утверждение), в этой плоскости лежат и прямые PQ и NM.
"Проекции этих прямых на лист бумаги" тоже (разумеется) выглядят, как прямые. То есть можно смело проводить на бумаге прямые NM и PQ до пересечения в точке R. Точка R будет отражать на чертеже реальную точку пересечения этих прямых.
Важно то, что точка R принадлежит прямой PQ, которая лежит в плоскости основания, и прямой NM, которая лежит в плоскости сечения (которое и строится в задаче). Плоскости основания и плоскости сечения также принадлежит и точка K. То есть прямая RK принадлежит сечению. Она пересекает ребра AC и BC в каких-то точках (пусть это E и F). Которые тоже принадлежат сечению.
Дальше все еще проще простого :). Проводится ЕМ до пересечения с AD в точке G, проводится GN до пересечения с DB в точке H, соединяются H и F.
Все.

(69.9k баллов)
0

Все замечательно, только мне кажется, что нужно рассказать про случай, когда прямые MN и QP не пересекутся))

0

в смысле если они параллельны?

0

Я не вижу тут особого случая, потому что в этом случае через точку К надо просто провести прямую II PQ.

0

Скорее всего это потому, что я сейчас с увлечением читаю монографию по проективной геометрии :))))

0

Тогда я Вас понимаю) Эллипс, гипербола, парабола не различимы и т д))

0

Ну как-то так, но на 10 шагов проще и ближе к истоку проективной геометрии. Просто если MH II PQ, то точка R - бесконечно удаленная точка, но это совсем не мешает потом провести RK...