Шёл я как-то по лесУ (Д.п.; предлог "по"). Иду и слышу: застучал где-то впереди меня дятел (И.п.; окончание нулевое). Я пошёл осторожнее. Вижу, дятел (И.п.; окончание нулевое) пристроился на деревЕ (П.п.; предлог "на"). Уселся на ствол (В.п.; окончание нулевое; предлог "на"), зацепился за корУ (В.п.; предлог "за") острыми коготкАМИ (Т.п.), опёрся на жёсткий хвостик (В.п.; окончание нулевое; предлог "на") и колотит по стволУ (Д.п.; предлог "по") деревА (Р.п.) крепким клювОМ (Т.п.). Раздолбит дятел (И.п.; окончание нулевое) деревО (В.п.), найдёт под корОЙ (Т.п.; предлог "под") вредителЯ (В.п.) и съест. Так он лечит больные деревьЯ (В.п.).
Раздолбит дятел дерево, найдёт под корой вредителя и съест.
(Кто?) дятел - подлежащее, выражено именем существительным;
(что сделает?) раздолбит, найдёт, съест - однородные сказуемые, выражены глаголами;
(раздолбит что?) дерево - дополнение, выражено именем существительным;
(найдёт где?) под корой - обстоятельство, выражено именем существительным с предлогом;
(найдёт кого?) вредителя - дополнение, выражено именем существительным;
и - союз.