Прямые
и
лежат в одной плоскости, если три вектора
компланарны. Тогда смешанное произведение этих трёх векторов должно равняться 0 . Вычислим смешанное произведение:
Нулевую строчку в определителе получили умножив 2 строку на (-2) и прибавив к 3 строке.
Так как смешанное произведение = 0 , то прямые лежат в одной плоскости.
Чтобы составить уравнение этой плоскости можно найти её нормальный вектор как векторное произведение направляющих векторов (Можно было бы воспользоваться уравнением плоскости, проходящей через 3 точки. Две точки мы знаем из уравнений прямых М1 и М2, а третью можно определить, переведя уравнение какой-либо прямой в параметрический вид и придав значение параметру t .) Найдём нормальный вектор плоскости
.
![[\vec{s}_1\times \vec{s}_2]=\left|\begin{array}{ccc}i&j&k\\2&-3&4\\3&2&-2\end{array}\right| =i(6-8)-j(-4-12)+k(4+9)=\\\\\\=-2\vec{i}+16\vec{j}+13\vec{k}\\\\\pi :\; \; -2(x-1)+16(y+2)+13(z-5)=0\\\\-2x+16y+13z-31=0\\\\\pi :\; \; \underline {2x-16y-13z+31=0}](https://tex.z-dn.net/?f=%5B%5Cvec%7Bs%7D_1%5Ctimes+%5Cvec%7Bs%7D_2%5D%3D%5Cleft%7C%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7Di%26j%26k%5C%5C2%26-3%264%5C%5C3%262%26-2%5Cend%7Barray%7D%5Cright%7C+%3Di%286-8%29-j%28-4-12%29%2Bk%284%2B9%29%3D%5C%5C%5C%5C%5C%5C%3D-2%5Cvec%7Bi%7D%2B16%5Cvec%7Bj%7D%2B13%5Cvec%7Bk%7D%5C%5C%5C%5C%5Cpi+%3A%5C%3B+%5C%3B+-2%28x-1%29%2B16%28y%2B2%29%2B13%28z-5%29%3D0%5C%5C%5C%5C-2x%2B16y%2B13z-31%3D0%5C%5C%5C%5C%5Cpi+%3A%5C%3B+%5C%3B+%5Cunderline+%7B2x-16y-13z%2B31%3D0%7D "[\vec{s}_1\times \vec{s}_2]=\left|\begin{array}{ccc}i&j&k\\2&-3&4\\3&2&-2\end{array}\right| =i(6-8)-j(-4-12)+k(4+9)=\\\\\\=-2\vec{i}+16\vec{j}+13\vec{k}\\\\\pi :\; \; -2(x-1)+16(y+2)+13(z-5)=0\\\\-2x+16y+13z-31=0\\\\\pi :\; \; \underline {2x-16y-13z+31=0}")