Решите уравнение

Question

Дано ответов: 2

skvrttt_zn · Answer 1 · 2018-05-28T02:41:39+0000

Имеем уравнение: $\mathtt{x^2+3x+4\sqrt{x^2+3x-24}=36}$

решим уравнение относительно искусственно-введённой переменной: $\mathtt{x^2+3x=a}$ (причём $\mathtt{a\geq24}$ ), тогда $\mathtt{a+4\sqrt{a-24}=36}$

оставим корень слева, перебросив всё лишнее вправо и возведя в квадрат обе части, потребовав неотрицательность неподкоренной части:
$\mathtt{4\sqrt{a-24}=36-a;~\left\{{{(4\sqrt{a-24})^2=(36-a)^2,}\atop{36-a\geq0;}}\right}$

решим систему:
$\mathtt{\left\{{{16(a-24)=a^2-72a+6^4,}\atop{24\leq a \leq36;}}\right\left\{{{a^2-88a+1680=0,}\atop{24\leq a \leq36;}}\right}$

отдельно распишем решение уравнения:
$\mathtt{a^2-88a+1680=0;~D_4=(\frac{-b}{2})^2-ac=44^2-1680=256=16^2;~}\\\mathtt{a_1=44+16=60~~u~~a_2=44-16=28}$

учитывая наши ограничения, нам подходит только второй корень; производим обратную замену:
$\mathtt{x^2+3x=28;~x^2+3x-28=0;~(x+7)(x-4)=0}$

ответ: $\mathtt{x=-7;~4}$ (в порядке возрастания)

забавная штука, кстати:
мы решили уравнение $\mathtt{x^2+3x-28=0}$ и выяснили, при каких значениях оно обращается в ноль. выражение под корнем (вместе с этим корнем, это важно!) можно представить слегка другим образом, например, вот так: $\mathtt{\sqrt{x^2+3x-28+4}}$ . при наших найденных корнях этот значение корня всегда будет 2, потому что $\mathtt{x^2+3x-28}$ при этих же значениях равно нулю, а если прибавить 4, то арифметический корень будет равен двум.

sedinalana_zn · Answer 2 · 2018-05-28T02:41:39+0000

ОДЗ
x²+3x-24≥0
D=9+96=105
x1=(-3-√105)/2 U x2=(-3+√105)/2
x≤(-3-√105)/2 U x≥(-3+√105)/2
Обозначим √(х²+3х-24)=а
а²=х²+3х-24⇒х²+3х=а²+24
а²+24+4а-36=0
а²+4а-12=0
D=16+48=64⇒a1+a2=-4 U a1*a2=-12
a1=-6⇒√(х²+3х-24)=-6 нет решения
a2=2⇒√(х²+3х-24)=2⇒x²+3x-24=4
x²+3x-28=0
D=9+112=121>0⇒x1+x2=-3 U x1*x2=-28
x1=-7 U x2=4
Ответ x={-7;4}