При каком значении р прямая у=-2х+p имеет с параболой у=х2+2х ровно одну общую точку?...

Построим для начала параболу.

$x=- \dfrac{b}{2a} =- \dfrac{2}{2} =-1$

$y(-1)=(-1)^2+2\cdot(-1)=1-2=-1$

$(-1;-1)$ - координаты вершины параболы.

Очевидно, что прямая будет иметь одно пересечение в точке (-2;0), что при подстановки в функцию прямой получаем p=-4.

ВТОРОЙ СПОСОБ.

Производная от линейной функций равен угловому коэффициенту: y'=-2

Производная от квадратичной функции: $y'=(x^2+2x)'=2x+2$

И воспользовавшись геометрическим смыслом производной:
$2x+2=-2\\ x=-2;~~~~~ y=0.$

При подстановке в функции прямой, имеем: 0 = 4+p откуда p=-4