Дана пирамида SABC.
Рассмотрим треугольники АВС и ASB.
AD и СЕ - медианы треугольника (грани) АВС.
SE - медиана треугольника (грани) ASB.
Точки F и G - точки пересечения медиан, которые, как известно, делят медианы в отношении 2:1, считая от вершины. То есть
EG/GC=EF/FS=1/2
Тогда, в треугольниках SEC и FEG EG/ЕC=EF/ЕS=1/3. Угол SEC - общий.
Треугольники EFG и ESC подобны по второму признаку подобия:
"Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, а стороны, образующие этот угол в одном треугольнике, пропорциональны соответствующим сторонам другого, то такие треугольники подобны."
Итак, FG=(1/3)*SC.
Точно так же доказывается, что
HG=(1/3)*SB, JG=(1/3)*SA, HF=(1/3)*CB, FJ=(1/3)*AC, a HJ=(1/3)*AB.
Таким образом, мы имеем пирамиду GHFJ, подобную пирамиде SABC
с коэффициентом подобия k=1/3.
Объемы подобных фигур относятся как куб их коэффициента подобия.
То есть Vghfj/Vsabc=1/27.
Тогда искомый объем равен 54:27=2.
