Решить предел (4 номер)

$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n}}\left(\frac{1}{\sqrt{3}+1}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}+\ldots + \frac{1}{\sqrt{2n-1}+\sqrt{2n-3}}+\frac{1}{\sqrt{2n+1}+\sqrt{2n-1}}\right)=$

$= \lim\limits_{n \to \infty}\frac{1}{\sqrt{n}} \left(\frac{\sqrt{3}-1}{2}+\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}+ \ldots +\frac{\sqrt{2n-1}-\sqrt{2n-3}}{2}+\frac{\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n-1}}{2}\right)=$

$= \lim\limits_{n \to \infty} \frac{\sqrt{2n+1}-1}{2\sqrt{n}}= \frac{1}{2}\lim\limits_{n \to \infty} \left(\sqrt{2+\frac{1}{n}}-\frac{1}{\sqrt{n}}\right) =\frac{\sqrt{2}}{2}$

Замечание.Мы воспользовались домножением числителя и знаменателя на сопряженное выражение.