Точка M лежит на стороне BC треугольника ABC, причём BM:BC=1:4.На продолжении стороны AC за точку C взята точка N, так что AN:CN=3:1.Прямая MN пересекает сторону AB треугольника ABC в точке K.Найдите отношение AK:KB.
По теореме Менелая: (АК/КВ)*(BM/MC)*(CN/NA)=1. ВМ/ВС=1/4 => ВМ/МС = 1/3. AN/CN=3/1 => CN/AN=1/3. Тогда (АК/КВ)*(1/3)*(1/3)=1. АК/КВ = 9/1. Доказательство теоремы: Проведем через точку C прямую, параллельную AB. Обозначим через Р ее точку пересечения с прямой KN. Треугольники AKN и CPN подобны (< KAN=< AKN=Треугольники BKM и CPM подобны (< BMK=Из (1) СР=AK*NC/NA. Из (2) СР=КВ*МС/ВМ. Тогда AK*NC/NA = КВ*МС/ВМ и (AK*NC/NA)/(КВ*МС/ВМ)=1. Или (АК/КВ)*(ВМ/МС)*(NC\NA)=1. Что и требовалось доказать.