Помогите пожалуйста решить

Question 1

Question 2

Найдем первые частные производные
$\frac{\partial z}{\partial x} = e^{\sqrt{xy}} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{xy}} \cdot y$
$\frac{\partial z}{\partial x} = e^{\sqrt{xy}} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{xy}} \cdot x$
Теперь вторые
$\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} = \frac{\partial}{\partial x} (e^{\sqrt{xy}}) \cdot \frac{1}{2 \sqrt{xy}} \cdot y + \frac{\partial}{\partial x} (\frac{1}{2 \sqrt{xy}}) \cdot e^{\sqrt{xy}} \cdot y + \\ + \frac{\partial}{\partial x} (y) \cdot e^{\sqrt{xy}} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{xy}} = \frac{y e^{\sqrt {xy}}}{4x}-\frac{y^{2} e^{\sqrt {xy}}}{4 (xy)^{3/2}}$
$\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}} = \frac{\partial}{\partial y} (e^{\sqrt{xy}}) \cdot \frac{1}{2 \sqrt{xy}} \cdot x + \frac{\partial}{\partial y} (\frac{1}{2 \sqrt{xy}}) \cdot e^{\sqrt{xy}} \cdot x + \\ + \frac{\partial}{\partial y} (x) \cdot e^{\sqrt{xy}} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{xy}} = \frac{x e^{\sqrt {xy}}}{4x}-\frac{x^{2} e^{\sqrt {xy}}}{4 (xy)^{3/2}}$
$\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (\frac{ye^{\sqrt{xy}}}{2 \sqrt{xy}}) = \frac{e^{\sqrt{xy}}}{2 \sqrt{xy}} + \frac{e^{\sqrt{xy}}}{4}-\frac{e^{\sqrt{xy}}}{4 \sqrt{xy}}$
Как мы видим, вторые частные производные по "икс" и по "игрек" не равны, смешанные частные производные равны, т.к.
$\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^{2} z}{\partial y \partial x}$
Значения вторых частных производных в точке $M_0 (1;0)$ мы не сможем найти, так как в знаменателе стоит произведение x*y.

Question 3

Спасибо большое)

radioactivet0y_zn · Answer 1 · 2018-05-27T17:31:59+0000

Найдем первые частные производные
$\frac{\partial z}{\partial x} = e^{\sqrt{xy}} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{xy}} \cdot y$
$\frac{\partial z}{\partial x} = e^{\sqrt{xy}} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{xy}} \cdot x$
Теперь вторые
$\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} = \frac{\partial}{\partial x} (e^{\sqrt{xy}}) \cdot \frac{1}{2 \sqrt{xy}} \cdot y + \frac{\partial}{\partial x} (\frac{1}{2 \sqrt{xy}}) \cdot e^{\sqrt{xy}} \cdot y + \\ + \frac{\partial}{\partial x} (y) \cdot e^{\sqrt{xy}} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{xy}} = \frac{y e^{\sqrt {xy}}}{4x}-\frac{y^{2} e^{\sqrt {xy}}}{4 (xy)^{3/2}}$
$\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}} = \frac{\partial}{\partial y} (e^{\sqrt{xy}}) \cdot \frac{1}{2 \sqrt{xy}} \cdot x + \frac{\partial}{\partial y} (\frac{1}{2 \sqrt{xy}}) \cdot e^{\sqrt{xy}} \cdot x + \\ + \frac{\partial}{\partial y} (x) \cdot e^{\sqrt{xy}} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{xy}} = \frac{x e^{\sqrt {xy}}}{4x}-\frac{x^{2} e^{\sqrt {xy}}}{4 (xy)^{3/2}}$
$\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (\frac{ye^{\sqrt{xy}}}{2 \sqrt{xy}}) = \frac{e^{\sqrt{xy}}}{2 \sqrt{xy}} + \frac{e^{\sqrt{xy}}}{4}-\frac{e^{\sqrt{xy}}}{4 \sqrt{xy}}$
Как мы видим, вторые частные производные по "икс" и по "игрек" не равны, смешанные частные производные равны, т.к.
$\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^{2} z}{\partial y \partial x}$
Значения вторых частных производных в точке $M_0 (1;0)$ мы не сможем найти, так как в знаменателе стоит произведение x*y.